richiami di matematica

MICRO·CORSO di STATISTICA
percorso standard

Giovanni Garasto

1. Primi passi
... ... ...
1.3 Piccoli richiami di matematica

° Conterò poco, è vero:
- diceva l’Uno ar Zero -
ma tu che vali? Gnente: propio gnente.
Sia ne l’azzione come ner pensiero
rimani un coso vôto e inconcrudente.
Io, invece, se me metto a capofila
de cinque zeri tale e quale a te,
lo sai quanto divento? Centomila.
E’ questione de nummeri. A un dipresso
è quello che succede ar dittatore
che cresce de potenza e de valore
più so’ li zeri che je vanno appresso.

(Trilussa. Nummeri)

° TEORIA DEGLI INSIEMI

La teoria degli insiemi è fondamento dell’intera costruzione matematica.

Un insieme è praticamente un gruppo di elementi, concreti o astratti. Esso è rappresentato in forma simbolica con una lettera maiuscola, mentre per gli elementi si usano le lettere minuscole. Per la rappresentazione grafica si usa il diagramma di Venn, area ellittica che ha al suo interno punti che rappresentano gli elementi dell’insieme.

L’appartenenza di un elemento p ad un insieme A è rappresentata simbolicamente con p Î A , mentre la sua non appartenenza è rappresentata con p Ï A . Quando tutti gli elementi di un insieme B fanno parte anche di un insieme più vasto A, si dice che B è sottoinsieme di A; le rappresentazioni simboliche B Í A e A Ê B significano rispettivamente che B è sottoinsieme di A e che A contiene B. Un insieme privo di elementi (come quello ‘formato’ dai multipli dispari di 2, che non esistono) è detto insieme vuoto, rappresentato dal simbolo Æ . Un insieme ordinato è quello in cui gli elementi possono essere disposti come “in fila”, per l’esistenza di caratteristiche che mettono in una specifica relazione i suoi singoli elementi.

Quando due insiemi A e B hanno almeno un elemento in comune, si ha l’unione di A e B, che è data da tutti i loro elementi (contati una sola volta) ed è rappresentata con A È B; gli elementi comuni ai due insiemi uniti costituiscono invece l’intersezione di A e B, rappresentata con A Ç B . Due insiemi che non abbiano nessun elemento in comune sono detti disgiunti.

Si chiama coppia ordinata un insieme formato da due elementi x e y, in cui è fissato quale è il primo e quale il secondo elemento; essa è rappresentata con (x,y) oppure con (y,x) che sono coppie tra loro diverse poiché l’ordine è influente. Si chiama prodotto cartesiano degli insiemi A e B l’insieme di tutte le coppie ordinate (a,b) per aÎA e bÎB; esso è rappresentato con A×B .

° INSIEMI NUMERICI

Un insieme i cui elementi siano formati da numeri è detto insieme numerico.
Sono noti differenti insiemi numerici, precisamente l’insieme dei numeri naturali (indicato con N), quello dei numeri razionali assoluti (Q_a), quello dei numeri razionali (Q), quello dei numeri reali (R) e quello dei numeri complessi (C), legati tutti fra loro dalla relazione N Í Q_a Í Q Í R Í C .

I numeri dei vari insiemi si prestano ad operazioni di confronto e ad operazioni generatrici di altri numeri (le quattro operazioni fondamentali di addizione, moltiplicazione, sottrazione e divisione; l’elevamento a potenza e l’estrazione di radice; il calcolo degli esponenziali e quello dei logaritmi), ciascuna delle quali è dotata di specifiche proprietà; un insieme numerico è detto chiuso rispetto a un’operazione quando il risultato di questa è ancora un elemento dell’insieme.

I numeri naturali sono derivati da conteggi e sono quindi discreti (e ‘positivi’, v.dopo); il loro insieme (N) è chiuso solo rispetto ad addizione e moltiplicazione. Le operazioni che li riguardano sono: le operazioni di confronto, per cui un numero, rispetto a un altro, può essere uguale [a=b], diverso [a¹b], maggiore [a>b] o minore [a<b]; l’addizione [a+b+c+...], dotata delle proprietà: commutativa [a+b=b+a], associativa [a+b+c=a+d se d=b+c], di esistenza dell’elemento neutro [a+0=a]; la moltiplicazione [a×b×c], dotata delle proprietà: commutativa [a×b=b×a], associativa [a×b×c=a×d se d=b×c], di esistenza dell’elemento neutro [a×1=a], di annullamento del prodotto [a×0=0], distributiva [(a×n)+(b×n)=(a+b)×n]; la sottrazione [a-b], dotata della proprietà invariantiva [(a+n)-(b+n)=(a-n)-(b-n)=a-b]; la divisione [a/b oppure a:b], dotata della proprietà invariantiva [(a×n)/(b×n)=(a/n)/(b/n)=a/b, se n¹0 poiché se il divisore è nullo la divisione non ha significato]; l’elevamento a potenza [aⁿ=b] che equivale al prodotto della base a per se stessa tante volte quante indicate dall’esponente n e che ha le sue specifiche caratteristiche [1ⁿ=1; a¹=1 e a⁰=1 se a¹0] e proprietà [aⁿ×a^m =a^n+m ; aⁿ/a^m=aⁿ^-^m; aⁿ×bⁿ=(ab)ⁿ ; aⁿ/bⁿ=(a/b)ⁿ ; (aⁿ)^m=a^nm]; l’estrazione di radice [ⁿÖa=b, con n omessa se uguale a 2], operazione inversa all’elevamento a potenza, che ha le sue specifiche caratteristiche [ⁿÖ0=0] e proprietà [(ⁿÖa)^m=ⁿÖa^m; ⁿÖa^m=^npÖa^mp=^n/pÖa^m/p; ⁿÖa×ⁿÖb=ⁿÖab; ⁿÖa/ⁿÖb=ⁿÖ(a/b); a×ⁿÖb=ⁿÖ(aⁿb); ⁿÖa^p=a^q (ⁿÖa^r) se p:n=q con resto r; ^mÖ(ⁿÖa)=^mnÖa]. Per i numeri naturali esistono differenti sistemi di numerazione, cioè di rappresentazione in forma scritta: il più comune è il sistema decimale (o notazione decimale), o sistema in base 10, nel quale i numeri sono formati da una combinazione delle cifre arabe (da 0 a 9), la cui posizione nel numero definisce una quantità data da una elevazione a potenza in cui 10 rappresenta la base e la cifra l’esponente. Graficamente si utilizza la rappresentazione cartesiana, in cui i numeri sono punti equidistanti su una semiretta avente 0 come origine.

I numeri razionali assoluti sono derivati da rapporti fra numeri naturali (come avviene nelle misure e nel calcolo delle probabilità), cioè da frazioni, raggruppate in classi di frazioni equivalenti (quelle nelle quali la divisione produce lo stesso valore). Il valore della divisione è quindi dato da numeri decimali (con una parte intera, che precede, ed una mantissa, che segue la virgola, o il punto anglosassone, di separazione): essi sono discreti (‘positivi’, v.dopo), periodici (o finiti). Il più piccolo numero razionale assoluto è lo 0. Il loro insieme [Q_a] è chiuso rispetto a tutte e quattro le operazioni fondamentali, sottrazione esclusa.

I numeri razionali sono derivati dalla necessità di esprimere valori al di sotto di 0 e sono quindi rappresentati da numeri razionali assoluti preceduti da segno [“+”, spesso omesso, per i positivi e “-” per i negativi] (praticamente il loro insieme Q è il prodotto cartesiano dell’insieme dei segni e di Q_a), con la sola eccezione di 0 che non è né positivo né negativo e non ha segno. E’ detto quindi valore assoluto il numero razionale privato del segno [rappresentato come | a | ]. Le operazioni, che sono quelle già citate, sono integrate dalla proprietà dell’inverso rispetto alla somma [per cui si hanno numeri razionali opposti +a e -a, con lo stesso valore assoluto ma segno diverso, la cui somma dà 0, cioè +a-a=0] e la proprietà dell’inverso rispetto al prodotto [ogni numero razionale ha un reciproco 1/a, dato dal rapporto dell’unità con il numero razionale, per cui il suo prodotto con quest’ultimo dà 1, cioè a×(1/a)=1]. Circa l’elevamento a potenza, in presenza di numeri razionali negativi, vanno ricordate alcune peculiari caratteristiche [ (+a)ⁿ= (-a)ⁿ= +b se n è pari, mentre (+a)ⁿ= +b e (-a)ⁿ= -b se n è dispari; a^-ⁿ=(1/a)ⁿ=1/aⁿ]; analogamente per quel che riguarda l’estrazione di radice in presenza di numeri razionali negativi [ⁿÖ-a= ±b con n pari, mentre ⁿÖ-a= -b con n dispari; a^m/n=ⁿÖa^m mentre a^-^m/n=ⁿÖ(1/a^m), entrambe possibili solo con a positivo]. Una forma di notazione dei numeri razionali è la notazione scientifica, utile quando ci sono molti zero nel numero: essa consiste nel rappresentare il numero con un numero privato degli zero e moltiplicato per una potenza di 10 [es.: 20000 come 2 x 10⁴, 0.056 come 5.6 x 10^-²]. Sono dette cifre significative tutte le cifre di un numero esclusi gli zero necessari per identificare la posizione della virgola decimale; mentre i numeri frutto di conteggi sono naturalmente esatti, quelli frutto di misurazioni devono contenere tutte le cifre certe più un’ultima incerta; nei calcoli, il risultato finale deve avere un numero di cifre significative non superiore a quello del numero che entra nei calcoli e che ne ha di meno (per addizione e sottrazione ciò riguarda le sole cifre significative dopo la virgola). La rappresentazione grafica è basata sull’uso di una retta cartesiana che contiene al suo interno un punto 0, a sinistra del quale sono i numeri negativi (tutti minori di 0 e decrescenti al crescere del loro valore assoluto), a destra i positivi (tutti maggiori di 0 e crescenti al crescere del loro valore assoluto). L’insieme Q è chiuso rispetto a tutte e quattro le operazioni fondamentali.

I numeri reali sono derivati dall’osservazione che accanto a numeri decimali periodici (o finiti) esistono numeri decimali non periodici, detti numeri irrazionali (per es., il valore di p o radici quadrate di numeri razionali positivi). La sequenza di tali numeri non è più discreta ma continua, per cui si possono individuare delle classi contigue (formate da approssimazioni dei numeri sempre più precise in relazione alla ‘lunghezza’ della mantissa) e, conseguentemente degli intervalli, limitati o illimitati, aperti o chiusi (a destra e/o a sinistra). Un esponenziale è un elevamento a potenza con esponente reale, comprendente quindi anche l’esponente irrazionale [es.: 2^Ö2]; per esso valgono le proprietà degli elevamenti a potenza. Logaritmo è l’operazione inversa all’esponenziale, per cui, se a^x=b, x=log_ab, cioè in altri termini il logaritmo di un numero b (che viene detto argomento del logaritmo) è l’esponente x che bisogna dare alla base a per ottenere quel numero; in tal senso, inoltre, il numero b è anche l’antilogaritmo dell’esponente. Quindi log_a1=0 e log_aa=1, mentre non esistono i logaritmi di numeri negativi né di 0, né logaritmi a base 0 o 1 o negativa. I logaritmi, di cui esistono vari sistemi in relazione alla base [tra cui i logaritmi naturali o neperiani, aventi per base il numero irrazionale e=2.71828.. e indicati con ln, e i logaritmi decimali, in base 10 spesso indicati con log], hanno specifiche proprietà: log_a(bc)=log_ab+log_ac; log_a(b/c)=log_ab-log_ac da cui log_a(1/b)= -log_ab=colog_ab (cologaritmo, cioè logaritmo del reciproco di un numero reale); log_ab^c= c×log_ab; log_aⁿÖb= (1/n)log_ab; log_cb= log_ab/log_ac (cambio di base). Per il calcolo dei logaritmi e degli antilogaritmi esistono opportune tabelle, oltre ovviamente a funzioni specifiche presenti in strumenti di calcolo e software.

I numeri complessi sono derivati dalla necessità di risolvere problemi molto particolari come l’effettuazione della radice quadrata di numeri negativi, impossibili negli insiemi prima citati. In essi si fa ricorso alla cosiddetta unità immaginaria, indicata con i e rappresentante quei ‘valori’ il cui quadrato è fatto per definizione uguale a -1 (per cui, per es., la radice quadrata di -4 diventa ±2i ). I numeri complessi hanno dunque una parte reale e una parte immaginaria (che è 0i per i numeri reali considerati come sottoinsieme dei numeri complessi).

° RAPPRESENTAZIONE SIMBOLICA E GEOMETRICA

L’uso di una rappresentazione in forma simbolica è reso necessario dalla necessità di generalizzare descrizione e analisi di casi che coinvolgono numeri.

Le discipline scientifiche fanno ricorso a una gran quantità di lettere e simboli, dal significato non sempre univoco (talora anche all’interno di una stessa disciplina).

Ai nostri fini ricordiamo brevemente:

Þ i simboli per la rappresentazione degli insiemi: appartenenza ‘Î’, non appartenenza ‘Ï’ , sottoinsieme dal punto di vista del contenuto ‘Í’ e del contenente ‘Ê’, insieme vuoto ‘Æ’, unione ‘È’, intersezione ‘Ç’, coppia ordinata ‘(x,y)’, prodotto cartesiano ‘A x B’

Þ i simboli letterali per gli insiemi dei numeri naturali ‘N’, razionali assoluti ‘Q_a’, razionali ‘Q’, reali ‘R’, complessi ‘C’

Þ le cifre arabe ‘0’, ‘1’, ‘2’, ‘3’, ‘4’ , ‘5’, ‘6’, ‘7’, ‘8’, ‘9’ completate dal simbolo di infinito ‘¥‘ , e le cifre romane ‘I’, ‘V’, ‘X’, ‘L’, ‘C’, ‘M’

Þ i separatori di decimale virgola ‘,’ e punto ‘.’

Þ i simboli per i segni ‘+’ e ‘–’ e per il valore assoluto ‘ | | ’

Þ i simboli per i confronti ‘uguale a’ ‘=’, ‘diverso da’ ‘¹’, ‘minore di’ ‘<’, ‘uguale o minore di’ ‘£’, ‘maggiore di’ ‘>’, ‘uguale o maggiore di’ ‘³’

Þ i simboli per le operazioni di addizione ‘+’, sottrazione ‘-’, moltiplicazione ‘´’, ‘*’, ‘ × ’ , divisione ‘/’, ‘:’, ‘¸’, il simbolo combinato di intervallo ‘più-meno’ ‘±’

Þ i simboli per l’estrazione di radice ‘ ⁿÖ ’ , i logaritmi ‘log’ ed i logaritimi naturali ‘ln’, gli antilogaritmi ‘antilog’, il fattoriale ‘ ! ’

Þ le parentesi (per le priorità delle operazioni o di racchiudimento valori) ‘{ }’, ‘[ ] ’, ‘( )’

Þ il ‘per cento’ ‘%’ e il ‘per mille’ ‘‰’

Þ le lettere greche (di solito usate per valori teorici) ‘a’ (errore del primo tipo), ‘b’ (errore del secondo tipo), ‘c’ (per la statistica chi-quadro), ‘d’ (differenza), ‘e’ (errore), ‘m’ (media di popolazione), ‘s’ (deviazione standard di popolazione), ‘p’ (pigreco, proporzione), ‘q’ (stimatore), ‘S’ (sommatoria), ‘Õ’ (produttoria) e poi ‘g’ ‘h’ ‘n’ ‘f’ ‘l’ ‘r’

Þ l’indicatore di funzione ‘F( )’ o ‘f( )’

Þ l’indicatore di legge di distribuzione normale ‘N( , )’

Þ le lettere che rappresentano mutabili generali ‘A’ , ‘B’, ecc. e particolari ‘a’, ‘b’, ecc., e variabili generali ‘X’, ‘Y’, ecc. e particolari ‘x’, ‘y’, ecc.

Þ i simboli di frequenza ‘f’', numerosità di valori ‘n’, ‘N’, numerosità di modalità di carattere ‘k’

Þ gli indicatori di posizionamento in una serie o in una matrice ‘i’, ‘j’

Þ e numerosi altri simboli e lettere.

Circa le rappresentazioni grafiche ricordiamo l’importanza della semiretta cartesiana (0 all’origine), della retta cartesiana (con lo 0 in mezzo e i valori negativi a sinistra, i positivi a destra), il piano cartesiano (con l’asse delle ordinate verticale e l’asse delle ascisse orizzontale, che consentono la suddivisione in quadranti, denominati dal I al IV in senso antiorario e contenenti i punti individuati dalle coordinate).

° FUNZIONI

Si chiama funzione da A in B quella relazione tra due insiemi A e B che ad ogni elemento xÎA fa corrispondere un elemento yÎB; la relazione è rappresentata dall’espressione y=f(x). In tale ambito x è detta, oltre che argomento della funzione, variabile indipendente, potendo i suoi valori variare a piacere all’interno di A, e y variabile dipendente, nel senso che i suoi valori restano univocamente determinati dalla funzione f e dal valore di x scelti. L’insieme in cui è contenuta la variabile indipendente è detto dominio della funzione f. Ogni funzione può essere pensata come una sequenza di coppie di valori, ciascuna delle quali è elemento del prodotto cartesiano AxB.

Le funzioni sono ben rappresentate sotto forma di grafici su un piano cartesiano, con la variabile indipendente posta sull’asse orizzontale (delle ascisse) e quella dipendente sull’asse verticale (delle ordinate).

Quando A e B sono sottoinsiemi dell’insieme R dei numeri reali, le funzioni che li riguardano sono dette funzioni reali, dette ulteriormente funzioni analitiche quando esse sono esprimibili mediante formule di calcolo contenenti le operazioni da eseguire su x per ottenere y.

Le funzioni analitiche sono a loro volta suddivise in funzioni algebriche, quando il valore f(x) si ottiene, a partire da x, con un numero finito di operazioni algebriche (addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni, divisioni, elevamenti a potenza con esponente intero ed estrazione di radici n-esime) e in funzioni trascendenti (tra cui le esponenziali e le logaritmiche).

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