sviluppi del ragionamento statistico

MICRO·CORSO di STATISTICA
percorso standard

Giovanni Garasto

1. Primi passi
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1.6 Sviluppi del ragionamento statistico (in forma di glossario)

° ELEMENTI DEL RAGIONAMENTO STATISTICO - F

Stima dei parametri di una popolazione: è la rilevazione delle caratteristiche tipiche di una popolazione mediante opportuni stimatori delle stesse applicati a campioni estratti da quella popolazione (es.: gli stimatori media e varianza applicati a un campione forniscono una conoscenza approssimativa di media e varianza della popolazione di origine del campione).
Fra le stime le migliori non sono quelle cosiddette puntuali (che cercano di far coincidere parametri veri e parametri campionari, ma che possono variare anche molto con le caratteristiche dei campioni) quanto piuttosto le stime intervallari, cioè quelle che individuano un intervallo di confidenza (intervallo fiduciale) all’interno del quale viene a cadere con una certa probabilità di errore il parametro considerato. Volendo esemplificare, il parametro media m (detta media vera) di una popolazione normodistribuita non è in sé conoscibile ma viene stimato, in modo puntuale, con la media m di un campione estratto dalla popolazione o, meglio ancora, in modo intervallare, con un intervallo fiduciale m ± z s_m , in cui z è la deviata normale standardizzata (sostituita, nel caso di piccoli campioni, con la variabile t di Student, v.dopo) scelta sulla base di un margine di errore accettato, m è stimata dalla media di una popolazione di n medie campionarie e s_m dal cosiddetto errore standard della media s_m=s/Ön (deviazione standard corretta della media) (in cui s è a sua volta stimata dalla deviazione standard s della popolazione di medie campionarie). Analogamente, per stimare una proporzione p, si usa l’intervallo di confidenza di una proporzione p ± z Ö[p(1-p)/n] in cui p è ricavato dalla proporzione campionaria p. Anche una varianza vera, poi, può essere stimata da una varianza campionaria con il calcolo dell’intervallo fiduciale [s²(n-1)]/ c²_1-(a/2)< s² < [s²(n-1)]/ c²_a/2, in cui c² è ricavato dall’apposita tabella con n-1 gradi di libertà e le probabilità rispettive di a e 1-a, ciò poiché il rapporto tra la devianza campionaria di n dati e la varianza della popolazione segue una distribuzione c² con n-1 gradi di libertà, la quale, essendo asimmetrica, non vede s² al centro dell’intervallo fiduciale (come accade per una media).

Test di ipotesi: sono procedimenti statistici finalizzati a verificare se le differenze riscontrate tra i parametri di due o più distribuzioni campionarie siano da imputarsi o meno al caso, all’interno di un predeterminato margine di errore. Ciò richiede che, in primo luogo, si formulino supposizioni precise, mutuamente esclusive, da sottoporre ad analisi, denominate ipotesi nulla H₀ (che postula l’assenza di differenze, per es. fra le medie di due campioni, H₀: m_camp1=m_camp2=m_pop, e che non può mai essere verificata ma solo eventualmente respinta) ed ipotesi alternativa H₁ (per es., H₁: m_camp1<>m_camp2 oppure H₁: m_camp1<m_camp2 oppure H₁: m_camp1>m_camp2; che sarà quella automaticamente accettata, o meglio ‘corroborata’, da un rifiuto di H₀).
Si sceglie quindi, tra i disponibili, il test più appropriato per saggiare l’ipotesi nulla, secondo le finalità della ricerca e le caratteristiche statistiche dei dati, ciò poiché ogni test risponde ad uno specifico modello dotato di assunti propri e di condizioni di validità da rispettare (come: numerosità dei dati a disposizione, scala di misura, tipo di distribuzione). Ad esempio, mentre il modello dei test cosiddetti parametrici (come il test t o l’analisi della varianza) richiede che i dati siano tra loro indipendenti, di tipo scalare e provenienti da popolazioni normodistribuite e con varianze ‘omogenee’, altri test, detti non parametrici, risultano svincolati da qualsiasi legge di distribuzione di probabilità esono quindi applicabili non solo a dati scalari con qualsiasi tipo di distribuzione, ma anche a dati su scala nominale o ordinale.

Funzione discriminante (o statistica): è quella variabile aleatoria (per es., t o F), funzione delle osservazioni campionarie, di cui è stata studiata e opportunamente tabellata la legge di probabilità e sulla cui curva di distribuzione viene individuato dal ricercatore un valore critico, cioè un valore che separa una dall’altra la zona di rifiuto e la zona di accettazione dell’ipotesi nulla. Quando il valore della funzione discriminante, calcolato sul campione dal ricercatore, è tale da cadere nella zona di rifiuto di H₀ significa che esso ha una probabilità di accadimento talmente bassa che l’ipotesi nulla deve essere rigettata, potendosi così accogliere, all’interno dello stabilito margine di errore, l’ipotesi alternativa.
Va, in ogni caso, ricordato, che un test può avere una sua direzione: esso è detto bilaterale (a due code) quando la zona di rifiuto è suddivisa fra le due estremità della curva di distribuzione della funzione discriminante (es., per H₁: m_camp1<>m_camp2), monolaterale quando essa è concentrata solo ad una delle estremità (es., per H₁: m_camp1>m_camp2). Di ciò si deve tenere conto quando si consultano le tabelle della funzione discriminante al fine di individuare il valore critico.

Errore alfa (a o del I tipo): è l’errore che si commette rigettando un’ipotesi nulla in realtà vera. La sua probabilità è detta livello di significatività statistica di un test ed è posta ordinariamente, ma non necessariamente, a 0.05 ( ® differenza statisticamente significativa).

Errore beta (b o del II tipo): è l’errore che si commette non respingendo un’ipotesi nulla in realtà falsa. Tale errore cresce al decrescere dell’a prescelto, a meno di ricorrere ad una più elevata numerosità campionaria.

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